Adam

Adam 是另一个对 RMSProp 的改进算法 [1]。但一个不同点在于 Adam 对梯度做了指数加权移动平均。首先将动量变量 \(\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^d\) 的元素在时间步 0 时初始化成 0。 给定超参数 \(\beta_1\) 且满足 \(0 \leq \beta_1 < 1\)(算法作者建议设为 0.9),在时间步 \(t\) 计算

\[\boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t.\]

将其展开我们得到 \(\boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i\)。考虑一个简单情况:假设 \(\boldsymbol{g}_i=\boldsymbol{g}\) 对所有 \(i\) 成立,那么 \(\boldsymbol{v}_t = \left((1-\beta_1)\sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i}\right)\boldsymbol{g} = \left(1 - \beta_1^t\right)\boldsymbol{g}\)

\(t\) 较小时,\(1 - \beta_1^t\) 会较小。例如当 \(\beta_1 = 0.9\) 时且 \(t=1\) 时,\(\boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}\),当 \(t=10\) 时,\(\boldsymbol{v}_{10} = 0.65\boldsymbol{g}\)。为了消除这样的影响,我们可以将 \(\boldsymbol{v}_t\) 再除以 \(1 - \beta_1^t\),从而使得过去各时刻小批量随机梯度权值之和为 1。这也叫做偏差修正。也就是:

\[\boldsymbol{v}'_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t}.\]

接下来和 RMSProp 中一样,给定超参数 \(\beta_2\) 且满足 \(0 \leq \beta_2 < 1\)(算法作者建议设为 0.999),更新状态变量 \(\boldsymbol{s}\)

\[\boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.\]

且同样做偏差修正:

\[\boldsymbol{s}'_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}.\]

最后使用修正后的变量 \(\boldsymbol{v}'_t\)\(\boldsymbol{s}'_t\) 来更新自变量:

\[\boldsymbol{x}_{t} \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\boldsymbol{s}_{t}'+\epsilon}}\odot\boldsymbol{v}_{t}'\]

其中 \(\eta_t>0\) 是学习率且 \(\epsilon\) 是为了维持数值稳定性而添加的常数,例如 \(10^{-6}\)

从零开始实现

首先,导入实验所需的包或模块。

In [1]:
import sys
sys.path.insert(0, '..')

%matplotlib inline
import gluonbook as gb
from mxnet import nd

按照公式实现 Adam,时间步 \(t\) 通过hyperparams传入:

In [2]:
features, labels = gb.get_data_ch7()

def init_adam_states():
    v_w, v_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
    s_w, s_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    hp, beta1, beta2, eps = hyperparams, 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.square()
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hp['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hp['t'])
        p[:] -= hp['lr'] * v_bias_corr / (s_bias_corr.sqrt() + eps)
    hp['t'] += 1

使用学习率 \(0.01\) 来训练

In [3]:
gb.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)
loss: 0.258690, 0.507401 sec per epoch
../_images/chapter_optimization_adam_5_1.svg

使用 Gluon 的实现

通过名称adam可以获取 Gluon 中的实现:

In [4]:
gb.train_gluon_ch7('adam', {'learning_rate': 0.01}, features, labels)
loss: 0.258052, 0.247012 sec per epoch
../_images/chapter_optimization_adam_7_1.svg

小结

  • Adam 在 RMSProp 基础上对梯度也做了指数加权移动平均。
  • Adam 使用了偏差修正。

练习

  • 使用其他初始学习率,观察并分析实验结果。

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参考文献

[1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochastic optimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980.