7.8. Adam算法¶

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。

7.8.1. 算法¶

Adam算法使用了动量变量\(\boldsymbol{v}_t\)和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量\(\boldsymbol{s}_t\)，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数\(0 \leq \beta_1 < 1\)（算法作者建议设为0.9），时间步\(t\)的动量变量\(\boldsymbol{v}_t\)即小批量随机梯度\(\boldsymbol{g}_t\)的指数加权移动平均：

\[\boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t.\]

和RMSProp算法中一样，给定超参数\(0 \leq \beta_2 < 1\)（算法作者建议设为0.999），将小批量随机梯度按元素平方后的项\(\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t\)做指数加权移动平均得到\(\boldsymbol{s}_t\)：

\[\boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.\]

由于我们将\(\boldsymbol{v}_0\)和\(\boldsymbol{s}_0\)中的元素都初始化为0，在时间步\(t\)我们得到\(\boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i\)。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 \((1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t\)。需要注意的是，当\(t\)较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当\(\beta_1 = 0.9\)时，\(\boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1\)。为了消除这样的影响，对于任意时间步\(t\)，我们可以将\(\boldsymbol{v}_t\)再除以\(1 - \beta_1^t\)，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量\(\boldsymbol{v}_t\)和\(\boldsymbol{s}_t\)均作偏差修正：

\[\hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t},\]

\[\hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}.\]

接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量\(\hat{\boldsymbol{v}}_t\)和\(\hat{\boldsymbol{s}}_t\)，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

\[\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon},\]

其中\(\eta\)是学习率，\(\epsilon\)是为了维持数值稳定性而添加的常数，如\(10^{-8}\)。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用\(\boldsymbol{g}_t'\)迭代自变量：

\[\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'.\]

7.8.2. 从零开始实现¶

我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步\(t\)通过hyperparams参数传入adam函数。

In [1]:

%matplotlib inline
import d2lzh as d2l
from mxnet import nd

features, labels = d2l.get_data_ch7()

def init_adam_states():
    v_w, v_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
    s_w, s_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.square()
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (s_bias_corr.sqrt() + eps)
    hyperparams['t'] += 1

使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。

In [2]:

d2l.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features,
              labels)

loss: 0.243292, 0.500463 sec per epoch

../_images/chapter_optimization_adam_3_1.svg

7.8.3. 简洁实现¶

通过名称为“adam”的Trainer实例，我们便可使用Gluon提供的Adam算法。

In [3]:

d2l.train_gluon_ch7('adam', {'learning_rate': 0.01}, features, labels)

loss: 0.243424, 0.272841 sec per epoch

../_images/chapter_optimization_adam_5_1.svg

7.8.4. 小结¶

Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
Adam算法使用了偏差修正。

7.8.5. 练习¶

调节学习率，观察并分析实验结果。
有人说Adam算法是RMSProp算法与动量法的结合。想一想，这是为什么？

7.8.6. 参考文献¶

[1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochastic optimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980.