线性回归的从零开始实现

在了解了线性回归的背景知识之后,现在我们可以动手实现它了。尽管强大的深度学习框架可以减少大量重复性工作,但若过于依赖它提供的便利,会导致我们很难深入理解深度学习是如何工作的。因此,本节将介绍如何只利用 NDArray 和autograd来实现一个线性回归的训练。

首先,导入本节中实验所需的包或模块,其中的 matplotlib 包可用于作图,且设置成嵌入显示。

In [1]:
%matplotlib inline
from IPython import display
from matplotlib import pyplot as plt
from mxnet import autograd, nd
import random

生成数据集

我们构造一个简单的人工训练数据集,它可以使我们能够直观比较学到的参数和真实的模型参数的区别。设训练数据集样本数为 1000,输入个数(特征数)为 2。给定随机生成的批量样本特征 \(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{1000 \times 2}\),我们使用线性回归模型真实权重 \(\boldsymbol{w} = [2, -3.4]^\top\) 和偏差 \(b = 4.2\),以及一个随机噪音项 \(\epsilon\) 来生成标签

\[\boldsymbol{y} = \boldsymbol{X}\boldsymbol{w} + b + \epsilon,\]

其中噪音项 \(\epsilon\) 服从均值为 0 和标准差为 0.01 的正态分布。下面,让我们生成数据集。

In [2]:
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)

注意到features的每一行是一个长度为 2 的向量,而labels的每一行是一个长度为 1 的向量(标量)。

In [3]:
features[0], labels[0]
Out[3]:
(
 [2.2122064 0.7740038]
 <NDArray 2 @cpu(0)>,
 [6.000587]
 <NDArray 1 @cpu(0)>)

通过生成第二个特征features[:, 1]和标签 labels 的散点图,我们可以更直观地观察两者间的线性关系。

In [4]:
def use_svg_display():
    # 用矢量图显示。
    display.set_matplotlib_formats('svg')

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    use_svg_display()
    # 设置图的尺寸。
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

set_figsize()
plt.scatter(features[:, 1].asnumpy(), labels.asnumpy(), 1);
../_images/chapter_deep-learning-basics_linear-regression-scratch_7_0.svg

我们将上面的plt作图函数以及use_svg_displayset_figsize函数定义在gluonbook包里。以后在作图时,我们将直接调用gluonbook.plt。由于pltgluonbook包中是一个全局变量,我们在作图前只需要调用gluonbook.set_figsize()即可打印矢量图并设置图的尺寸。

读取数据

在训练模型的时候,我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数:它每次返回batch_size(批量大小)个随机样本的特征和标签。

In [5]:
# 本函数已保存在 gluonbook 包中方便以后使用。
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    random.shuffle(indices)  # 样本的读取顺序是随机的。
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        j = nd.array(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features.take(j), labels.take(j)  # take 函数根据索引返回对应元素。

让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2),分别对应批量大小和输入个数;标签形状为批量大小。

In [6]:
batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, y)
    break

[[-0.4844843   2.3336477 ]
 [ 1.2054669  -0.99645287]
 [-1.5366337  -1.015936  ]
 [-0.16280021 -0.21246749]
 [ 0.67914796  0.42399287]
 [ 0.21322168 -2.438817  ]
 [-0.6434393   0.39862037]
 [ 0.11624358  0.16280124]
 [ 0.92331976  0.3605266 ]
 [-0.9036472   2.650805  ]]
<NDArray 10x2 @cpu(0)>
[-4.7084603  9.992634   4.5778785  4.590843   4.1371055 12.924994
  1.5484271  3.89249    4.826377  -6.6277494]
<NDArray 10 @cpu(0)>

初始化模型参数

我们将权重初始化成均值为 0 标准差为 0.01 的正态随机数,偏差则初始化成 0。

In [7]:
w = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, 1))
b = nd.zeros(shape=(1,))

之后的模型训练中,我们需要对这些参数求梯度来迭代参数的值,因此我们需要创建它们的梯度。

In [8]:
w.attach_grad()
b.attach_grad()

定义模型

下面是线性回归的矢量计算表达式的实现。我们使用dot函数做矩阵乘法。

In [9]:
def linreg(X, w, b):  # 本函数已保存在 gluonbook 包中方便以后使用。
    return nd.dot(X, w) + b

定义损失函数

我们使用上一节描述的平方损失来定义线性回归的损失函数。在实现中,我们需要把真实值y变形成预测值y_hat的形状。以下函数返回的结果也将和y_hat的形状相同。

In [10]:
def squared_loss(y_hat, y):  # 本函数已保存在 gluonbook 包中方便以后使用。
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

定义优化算法

以下的sgd函数实现了上一节中介绍的小批量随机梯度下降算法。它通过不断迭代模型参数来优化损失函数。这里自动求梯度模块计算得来的梯度是一个批量样本的梯度和。我们将它除以批量大小来得到平均值。

In [11]:
def sgd(params, lr, batch_size):  # 本函数已保存在 gluonbook 包中方便以后使用。
    for param in params:
        param[:] = param - lr * param.grad / batch_size

训练模型

在训练中,我们将多次迭代模型参数。在每次迭代中,我们根据当前读取的小批量数据样本(特征X和标签y),通过调用反向函数backward计算小批量随机梯度,并调用优化算法sgd迭代模型参数。由于我们之前设批量大小batch_size为 10,每个小批量的损失l的形状为(10,1)。回忆一下“自动求梯度”一节。由于变量l并不是一个标量,运行l.backward()将对l中元素求和得到新的变量,再求该变量有关模型参数的梯度。

在一个迭代周期(epoch)中,我们将完整遍历一遍data_iter函数,并对训练数据集中所有样本都使用一次(假设样本数能够被批量大小整除)。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数,分别设 3 和 0.03。在实践中,大多超参数都需要通过反复试错来不断调节。当迭代周期数设的越大时,虽然模型可能更有效,但是训练时间可能过长。而有关学习率对模型的影响,我们会在后面“优化算法”一章中详细介绍。

In [12]:
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):  # 训练模型一共需要 num_epochs 个迭代周期。
    # 在一个迭代周期中,使用训练数据集中所有样本一次(假设样本数能够被批量大小整除)。
    # X 和 y 分别是小批量样本的特征和标签。
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        with autograd.record():
            l = loss(net(X, w, b), y)  # l 是有关小批量 X 和 y 的损失。
        l.backward()  # 小批量的损失对模型参数求梯度。
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数。
    train_l = loss(net(features, w, b), labels)
    print('epoch %d, loss %f' % (epoch + 1, train_l.mean().asnumpy()))
epoch 1, loss 0.040550
epoch 2, loss 0.000156
epoch 3, loss 0.000050

训练完成后,我们可以比较学到的参数和用来生成训练集的真实参数。它们应该很接近。

In [13]:
true_w, w
Out[13]:
([2, -3.4],
 [[ 1.9998622]
  [-3.4001276]]
 <NDArray 2x1 @cpu(0)>)
In [14]:
true_b, b
Out[14]:
(4.2,
 [4.1996946]
 <NDArray 1 @cpu(0)>)

小结

  • 可以看出,仅使用 NDArray 和autograd就可以很容易地实现一个模型。在接下来的章节中,我们会在此基础上描述更多深度学习模型,并介绍怎样使用更简洁的代码(例如下一节)来实现它们。

练习

  • 为什么squared_loss函数中需要使用reshape函数?
  • 尝试使用不同的学习率,观察损失函数值的下降快慢。
  • 如果样本个数不能被批量大小整除,data_iter函数的行为会有什么变化?

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