多层感知机

我们已经介绍了包括线性回归和 Softmax 回归在内的单层神经网络。然而深度学习主要关注多层模型。本节中,我们将以多层感知机(multilayer perceptron,简称 MLP)为例,介绍多层神经网络的概念。

隐藏层

多层感知机在单层神经网络的基础上引入了一到多个隐藏层(hidden layer)。隐藏层位于输入层和输出层之间。图 3.3 展示了一个多层感知机的神经网络图。

带有隐藏层的多层感知机。它含有一个隐藏层,该层中有5个隐藏单元。

带有隐藏层的多层感知机。它含有一个隐藏层,该层中有5个隐藏单元。

在图 3.3 的多层感知机中,输入和输出个数分别为 4 和 3,中间的隐藏层中包含了 5 个隐藏单元(hidden unit)。由于输入层不涉及计算,图 3.3 中的多层感知机的层数为 2。由图 3.3 可见,隐藏层中的神经元和输入层中各个输入完全连接,输出层中的神经元和隐藏层中的各个神经元也完全连接。因此,多层感知机中的隐藏层和输出层都是全连接层。

具体来说,给定一个小批量样本 \(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\),其批量大小为 \(n\),输入个数为 \(d\)。假设多层感知机只有一个隐藏层,其中隐藏单元个数为 \(h\)。记隐藏层的输出(也称为隐藏层变量或隐藏变量)为 \(\boldsymbol{H}\),我们有 \(\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}\)。因为隐藏层和输出层均是全连接层,我们可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 \(\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}\)\(\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}\),输出层的权重和偏差参数分别为 \(\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}\)\(\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}\)

我们先来看一种含单个隐藏层的多层感知机的设计。其输出 \(\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}\) 的计算为

\[\begin{split}\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}\end{split}\]

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果我们将以上两个式子联立起来,可以得到

\[\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.\]

从联立后的式子可以看出,虽然神经网络引入了隐藏层,却依然等价于一个单层神经网络:其中输出层权重参数为 \(\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o\),偏差参数为 \(\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o\)。不难发现,即便再添加更多的隐藏层,以上设计依然只能得到仅含输出层的单层神经网络。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换(affine transformation),而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换,例如对隐藏变量使用按元素操作的非线性函数进行变换,然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数(activation function)。下面我们介绍几个常用的激活函数。

ReLU 函数

ReLU(rectified linear unit)函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素 \(x\),该函数定义为

\[\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).\]

可以看出,ReLU 函数只保留正数元素,并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换,我们先定义一个绘图函数xyplot

In [1]:
%matplotlib inline
import gluonbook as gb
from mxnet import autograd, nd

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    gb.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    gb.plt.plot(x_vals.asnumpy(), y_vals.asnumpy())
    gb.plt.xlabel('x')
    gb.plt.ylabel(name + '(x)')

我们接下来通过 NDArray 提供的relu函数来绘制 ReLU 函数。可以看到,该激活函数是一个两段线性函数。

In [2]:
x = nd.arange(-8.0, 8.0, 0.1)
x.attach_grad()
with autograd.record():
    y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')
../_images/chapter_deep-learning-basics_mlp_3_0.svg

显然,当输入为负数时,ReLU 函数的导数为 0;当输入为正数时,ReLU 函数的导数为 1。尽管输入为 0 时 ReLU 函数不可导,我们可以取此处的导数为 0。下面绘制了 ReLU 函数的导数。

In [3]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')
../_images/chapter_deep-learning-basics_mlp_5_0.svg

Sigmoid 函数

Sigmoid 函数可以将元素的值变换到 0 和 1 之间:

\[\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.\]

Sigmoid 函数在早期的神经网络中较为普遍,但它目前逐渐被更简单的 ReLU 函数取代。在后面“循环神经网络”一章中我们会介绍如何利用它值域在 0 到 1 之间这一特性来控制信息在神经网络中的流动。下面绘制了 sigmoid 函数。当输入接近 0 时,sigmoid 函数接近线性变换。

In [4]:
with autograd.record():
    y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')
../_images/chapter_deep-learning-basics_mlp_7_0.svg

依据链式法则,sigmoid 函数的导数

\[\text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right).\]

下面绘制了 sigmoid 函数的导数。当输入为 0 时,sigmoid 函数的导数达到最大值 0.25;当输入越偏离 0 时,sigmoid 函数的导数越接近 0。

In [5]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')
../_images/chapter_deep-learning-basics_mlp_9_0.svg

Tanh 函数

Tanh(双曲正切)函数可以将元素的值变换到 -1 和 1 之间:

\[\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.\]

我们接着绘制 tanh 函数。当输入接近 0 时,tanh 函数接近线性变换。虽然该函数的形状和 sigmoid 函数的形状很像,但 tanh 函数在坐标系的原点上对称。

In [6]:
with autograd.record():
    y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')
../_images/chapter_deep-learning-basics_mlp_11_0.svg

依据链式法则,tanh 函数的导数

\[\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x).\]

下面绘制了 tanh 函数的导数。当输入为 0 时,tanh 函数的导数达到最大值 1;当输入越偏离 0 时,tanh 函数的导数越接近 0。

In [7]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')
../_images/chapter_deep-learning-basics_mlp_13_0.svg

多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络,且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号,多层感知机按以下方式计算输出:

\[\begin{split}\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}\end{split}\]

其中 \(\phi\) 表示激活函数。在分类问题中,我们可以对输出 \(\boldsymbol{O}\) 做 softmax 运算,并使用 softmax 回归中的交叉熵损失函数。 在回归问题中,我们将输出层的输出个数设为 1,并将输出 \(\boldsymbol{O}\) 直接提供给线性回归中使用的平方损失函数。

小结

  • 多层感知机在输出层与输入层之间加入了一个或多个全连接隐藏层,并通过激活函数对隐藏层输出进行变换。
  • 常用的激活函数包括 ReLU 函数、sigmoid 函数和 tanh 函数。

练习

  • 应用链式法则,推导出 sigmoid 函数和 tanh 函数的导数的数学表达式。
  • 查阅资料,了解其他的激活函数。

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