线性回归——从零开始

在了解了线性回归的背景知识之后,现在我们可以动手实现它了。 尽管强大的深度学习框架可以减少大量重复性工作,但若过于依赖它提供的便利,我们就会很难深入理解深度学习是如何工作的。因此,本节将介绍如何只利用NDArray和autograd来实现一个线性回归的训练。

线性回归

让我们先回忆一下上节中的内容。设数据样本数为\(n\),输入个数为\(d\)。给定批量数据样本的特征\(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\)和标签\(\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n \times 1}\),线性回归的批量输出\(\boldsymbol{\hat{y}} \in \mathbb{R}^{n \times 1}\)的计算表达式为

\[\boldsymbol{\hat{y}} = \boldsymbol{X} \boldsymbol{w} + b,\]

其中\(\boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^{d \times 1}\)\(b \in \mathbb{R}\)分别为线性回归的模型参数:权重和偏差。为了学习权重和偏差,我们用预测值\(\boldsymbol{\hat{y}}\)和真实值\(\boldsymbol{y}\)之间的平方损失作为模型的损失函数。在模型训练过程中,我们使用小批量随机梯度下降不断迭代模型参数的值,以最小化损失函数。最终,在有限次迭代后,我们便学出了模型参数的值。

下面我们开始动手实现线性回归的训练。首先,导入本节中实验所需的包或模块。

In [1]:
from matplotlib import pyplot as plt
from mxnet import autograd, nd
import random

生成数据集

我们在这里描述用来生成人工训练数据集的真实模型。

设训练数据集样本数为1000,输入个数为2。给定随机生成的批量样本特征\(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{1000 \times 2}\),我们使用线性回归模型真实权重\(\boldsymbol{w} = [2, -3.4]^\top\)和偏差\(b = 4.2\),以及一个随机噪音项\(\epsilon\)来生成标签

\[\boldsymbol{y} = \boldsymbol{X}\boldsymbol{w} + b + \epsilon,\]

其中噪音项\(\epsilon\)服从均值为0和标准差为0.01的正态分布。下面,让我们生成数据集。

In [2]:
num_inputs = 2
num_examples = 1000
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_examples, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)

注意到features的每一行是一个长度为2的向量,而labels的每一行是一个长度为1的向量(标量)。

In [3]:
features[0], labels[0]
Out[3]:
(
 [ 2.21220636  0.7740038 ]
 <NDArray 2 @cpu(0)>,
 [ 6.00058699]
 <NDArray 1 @cpu(0)>)

通过生成第二个特征features[:, 1]和标签 labels 的散点图,我们可以更直观地观察两者间的线性关系。

In [4]:
%config InlineBackend.figure_format = 'retina'
plt.rcParams['figure.figsize'] = (3.5, 2.5)
plt.scatter(features[:, 1].asnumpy(), labels.asnumpy(), 1)
plt.show()
../_images/chapter_supervised-learning_linear-regression-scratch_7_0.png

我们将上面的plt作图函数定义在gluonbook包里。以后在作图时,我们将直接调用gluonbook.plt,而无需执行from matplotlib import pyplot as plt

读取数据

在训练模型的时候,我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数:它每次返回batch_size个随机样本的特征和标签。设批量大小(batch_size)为10。

In [5]:
batch_size = 10
def data_iter(batch_size, num_examples, features, labels):
    indices = list(range(num_examples))
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        j = nd.array(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features.take(j), labels.take(j)

让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2),分别对应批量大小batch_size和输入个数num_inputs;标签形状为10,也就是批量大小。

In [6]:
for X, y in data_iter(batch_size, num_examples, features, labels):
    print(X, y)
    break

[[-0.40336287  1.41167605]
 [-1.7677424  -0.12628348]
 [ 2.00276661  0.04691195]
 [-0.82713741  0.95074618]
 [-0.48212412  0.13752407]
 [-0.75178748  1.03743064]
 [ 0.82589048  1.0249989 ]
 [-0.42873764  1.30547225]
 [-0.9910388  -0.19236775]
 [ 1.97824609 -2.09054041]]
<NDArray 10x2 @cpu(0)>
[ -1.4011718    1.09765589   8.04833603  -0.70025438   2.76216483
  -0.82968485   2.36622167  -1.06317675   2.87050509  15.25402641]
<NDArray 10 @cpu(0)>

我们将data_iter函数定义在gluonbook包中供后面章节调用。

初始化模型参数

下面我们随机初始化模型参数。

In [7]:
w = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, 1))
b = nd.zeros(shape=(1,))
params = [w, b]

之后训练时我们需要对这些参数求梯度来迭代它们的值,以使损失函数不断减小。因此我们需要创建它们的梯度。

In [8]:
for param in params:
    param.attach_grad()

定义模型

下面是线性回归的矢量计算表达式的实现。我们使用nd.dot函数做矩阵乘法。

In [9]:
def linreg(X, w, b):
    return nd.dot(X, w) + b

定义损失函数

我们使用上一节描述的平方损失来定义线性回归的损失函数。在实现中,我们需要把真实值y变形成预测值y_hat的形状。以下函数返回的结果也将和y_hat的形状相同。

In [10]:
def squared_loss(y_hat, y):
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

我们将linregsquared_loss函数定义在gluonbook包中供后面章节调用。

定义优化算法

以下的sgd函数实现了上一节中介绍的小批量随机梯度下降算法。这是我们最小化损失函数所需要的优化算法。

In [11]:
def sgd(params, lr, batch_size):
    for param in params:
        param[:] = param - lr * param.grad / batch_size

我们将该函数定义在gluonbook包中供后面章节调用。

训练模型

现在我们可以开始训练模型了。在训练中,我们将有限次地迭代模型参数。在每次迭代中,我们根据当前读取的小批量数据样本(特征features和标签label),通过调用反向函数backward计算小批量随机梯度,并调用优化算法sgd迭代模型参数。在一个迭代周期(epoch)中,我们将完整遍历一遍data_iter函数,并对训练数据集中所有样本都使用一次。这里的迭代周期数num_epochs和学习率lr都是超参数,分别设3和0.03。在实践中,大多超参数都是需要通过反复试错来不断调节。当迭代周期数设的越大时,虽然模型可能更有效,但是训练时间可能过长。而有关学习率对模型的影响,我们会在后面“优化算法”一章中详细介绍。

In [12]:
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(1, num_epochs + 1):
    for X, y in data_iter(batch_size, num_examples, features, labels):
        with autograd.record():
            l = loss(net(X, w, b), y)
        l.backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)
    print("epoch %d, loss %f"
          % (epoch, loss(net(features, w, b), labels).mean().asnumpy()))
epoch 1, loss 0.040546
epoch 2, loss 0.000160
epoch 3, loss 0.000050

训练完成后,我们可以比较学到的参数和用来生成训练集的真实参数。它们应该很接近。

In [13]:
true_w, w
Out[13]:
([2, -3.4],
 [[ 1.99982941]
  [-3.40003705]]
 <NDArray 2x1 @cpu(0)>)
In [14]:
true_b, b
Out[14]:
(4.2,
 [ 4.19946337]
 <NDArray 1 @cpu(0)>)

小结

  • 我们现在看到,仅使用NDArray和autograd就可以很容易地实现一个模型。在接下来的章节中,我们会在此基础上描述更多深度学习模型,并介绍怎样使用更简洁的代码(例如下一节)实现它们。

练习

  • 尝试用不同的学习率查看损失函数值的下降速度。
  • 回顾“自动求梯度”一节。本节代码中变量l并不是一个标量,运行l.backward()将如何对模型参数求梯度?

扫码直达讨论区